（1）求导函数，可得f'（x）=x²-2bx+2

∵x=2是f（x）的一个极值点

∴f'（2）=4-4b+2=0，∴b=

3

2

，--------------------------------------------（2分）

∴f'（x）=x²-3x+2=（x-1）（x-2）------------------------------------------（4分）

由f'（x）＞0得x＞2或x＜1，∴函数f（x）的单调增区间为（-∞，1），（2，+∞）；------（6分）

由f'（x）＜0得1＜x＜2，∴函数f（x）的单调减区间为（1，2），---------------------（8分）

（2）由（1）知，函数f（x）在（1，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增

∴当x=2时，函数f（x）取得最小值，f（x）_min=f（2）=a+

2

3

，------------------（10分）

x∈[1，+∞）时，f(x)-

2

3

＞a2恒成立等价于a2＜f(x)min-

2

3

，x∈[1，+∞)-----------（12分）

即a²-a＜0，

∴0＜a＜1．----------------------------------------------------（14分）