问题
解答题
已知函数f（x）=x3+2x2+x-4，g（x）=ax2+x-8（a＞2）．
（Ⅰ）求函数f（x）极值；
（Ⅱ）若对任意的x∈[0，+∞）都有f（x）≥g（x），求实数a的取值范围．
答案
（I）f′（x）=3x2+4x+1
令f′（x）=0解得x1=-1或x2=-1 3
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下：
∴当x=-1时，f（x）取得极大值为-4
当x=-
时，f（x）取得极小值为-1 3
；112 27
（Ⅱ）设F（x）=f（x）-g（x）=x3+（2-a）x2+4
∵F（x）≥0在[0，+∞）恒成立⇔F（x）min≥0，
x∈[0，+∞） 且F′（x）=3x2+（4-2a）x
令{F^'}（x）=0，解得x=0，x=2a-4 3
∵a＞2，
∴当0＜x＜
时，F'（x）＜02a-4 3
当x＞
时，F'（x）＞02a-4 3
∴当x∈（0，+∞）时，F(x)min=F(
)≥02a-4 3
即(
)3+(2-a)(2a-4 3
)2+4≥02a-4 3
解得a≤5，
∴2＜a≤5
当x=0时，F（x）=4成立
故综上所述：实数a的取值范围是a∈（2，5]．