问题
问答题
宇航员在月球表面完成下面的实验：在一固定的竖直光滑圆轨道内部有一质量为m的小球（可视为质点），如图所示．当在最高点给小球一瞬间的速度v时，刚好能使小球在竖直平面内做完整的圆周运动，已知圆弧的轨道半径为r，月球的半径为R，引力常量为G．求：
（1）若在月球表面上发射一颗环月卫星，所需最小发射速度为多大？
（2）月球的平均密度为多大？
（3）轨道半径为2R的环月卫星周期为多大？
答案
（1）小球在最高点重力充当向心力：mg=mv2 r
月球近地卫星最小发射速度：m′g=m′v12 R
又：G
=m′gMm′ R2
解得：v1=
vR r
（2）由：G
=mgMm R2
得：M=gR2 G
又：ρ=
=M V M 4πR3 3
解得：ρ=3v2 4πrRG
（3）对该卫星有：G
=m1Mm1 (2R)2
2R4π2 T2
解得：T=4π2Rr v2
答：
（1）若在月球表面上发射一颗环月卫星，所需最小发射速度为v1=
vR r
（2）月球的平均密度为ρ=3v2 4πrRG
（3）轨道半径为2R的环月卫星周期为T=4π2Rr v2