已知O为坐标原点，点A（2，1），B（1，2），对于k∈N*有向量OPk=kOB

问题解答题

已知O为坐标原点，点A（2，1），B（1，2），对于k∈N^*有向量

OPk

，
（1）试问点P_k是否在同一条直线上，若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由；
（2）是否在存在k∈N^*使P_k在圆x²+（y-2）²=5上或其内部，若存在求出k，若不存在说明理由．

答案

（1）点P_k（k∈N^*）在同一条直线上，直线方程为y=2x-3．

证明如下：设P_k（x_k，y_k），则（x_k，y_k）=k（1，2）+（2，1），

∴

xk=k+2

yk=2k+1

，

∴y_k=2x_k-3．

∴点P_k在直线y=2x-3上．

（2）由圆x²+（y-2）²=5的圆心（0，2）到直线y=2x-3的距离为

|-2-3|

=r，

可知直线与圆相切，∴直线与圆及内部最多只有一个公共点．

联立

y=2x-3

x2+(y-2)2=5

解得

x=2

y=1

．

∴切点的坐标为：（2，1），此时k=0不满足题意，所以不存k∈N^*满足题意．