| 已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3． （1）求实数a的值； （2）若k∈Z，且k＜
（3）当n＞m≥4时，证明（mnn）m＞（nmm）n． |
（1）因为f（x）=ax+xlnx，所以f'（x）=a+lnx+1．（1分）
因为函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e处的切线斜率为3，
所以f'（e）=3，即a+lne+1=3．
所以a=1．（2分）
（2）由（1）知，f（x）=x+xlnx，
所以k＜
对任意x＞1恒成立，即k＜f(x) x-1
对任意x＞1恒成立．（3分）x+xlnx x-1
令g(x)=
，x+xlnx x-1
则g′(x)=
，（4分）x-lnx-2 (x-1)2
令h（x）=x-lnx-2（x＞1），
则h′(x)=1-
=1 x
＞0，x-1 x
所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．（5分）
因为h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-2ln2＞0，
所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4）．
当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，当x＞x0时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，（6分）
所以函数g(x)=
在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．x+xlnx x-1
所以[g(x)]min=g(x0)=
=x0(1+lnx0) x0-1
=x0∈(3，4)．（7分）x0(1+x0-2) x0-1
所以k＜[g（x）]min=x0∈（3，4）．
故整数k的最大值是3．（8分）
（3）证明：由（2）知，g(x)=
是[4，+∞）上的增函数，（9分）x+xlnx x-1
所以当n＞m≥4时，
＞n+nlnn n-1
．（10分）m+mlnm m-1
即n（m-1）（1+lnn）＞m（n-1）（1+lnm）．
整理，得mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn+（n-m）．（11分）
因为n＞m，所以mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn．（12分）
即lnnmn+lnmm＞lnmmn+lnnn．
即ln（nmnmm）＞ln（mmnnn）．（13分）
所以（mnn）m＞（nmm）n．（14分）
证明2：构造函数f（x）=mxlnx+mlnm-mxlnm-xlnx，（9分）
则f'（x）=（m-1）lnx+m-1-mlnm．（10分）
因为x＞m≥4，所以f'（x）＞（m-1）lnm+m-1-mlnm=m-1-lnm＞0．
所以函数f（x）在[m，+∞）上单调递增．（11分）
因为n＞m，所以f（n）＞f（m）．
所以mnlnn+mlnm-mnlnm-nlnn＞m2lnm+mlnm-m2lnm-mlnm=0．（12分）
即mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn．
即lnnmn+lnmm＞lnmmn+lnnn．
即ln（nmnmm）＞ln（mmnnn）．（13分）
所以（mnn）m＞（nmm）n．（14分）