问题
解答题
已知函数f(x)=
（1）求f（x）的值域A （2）设a≥1，函数g（x）=x3-3ax-2a，x∈[0，1]的值域为B，若A⊆B成立，求a的取值范围． |
答案
（1）∵f(x)=
，(x∈[0，1])4x2-7 2-x
∴设t=2-x，则t∈[1，2]
函数f（x）=h（t）=
=4(2-t)2-7 t
=4t+4t2-16t+9 t
-16，（t∈[1，2]）9 t
∵h′（t）=4-
=9 t 2 4(t-
)(t+3 2
)3 2 t2
∴函数h（t）在[1，
）上为减函数，在[3 2
，2]上为增函数，且h（1）=-3．h（2）=-3 2
，h（7 2
）=-43 2
∴h（t）∈[-4，-3]，
即f（x）的值域A=[-4，-3]
（2）∵函数g（x）=x3-3ax-2a，x∈[0，1]，
∴g′（x）=3x2-3a=3（x+
）（x-a
），x∈[0，1]a
∵a≥1，∴
≥1a
∴g′（x）≤0
∴函数g（x）在[0，1]上为减函数，且g（0）=-2a，g（1）=1-5a
∴g（x）∈[1-5a，-2a]，即B=[1-5a，-2a]，
∵A⊆B，即[-4，-3]⊆[1-5a，-2a]，
∴1-5a≤-4 -2a≥-3
解得1≤a≤3 2