（1）设z₁=a+bi（a，b∈R，且b≠0），

则z2=z1+

1

z1

=a+bi+

1

a+bi

=(a+

a

a2+b2

)+(b-

b

a2+b2

)i

∵z₂是实数，b≠0，

∴有a²+b²=1，即|z₁|=1，

∴可得z₂=2a，

由-1≤z₂≤1，得-1≤2a≤1，

解得-

1

2

≤a≤

1

2

，

即z₁的实部的取值范围是[-

1

2

，

1

2

]．

（2）ω=

1-z1

1+z1

=

1-a-bi

1+a+bi

=

1-a2-b2-2bi

(1+a)2+b2

=-

b

a+1

i

∵a∈[-

1

2

，

1

2

]，b≠0，

∴ω为纯虚数．