问题 解答题
已知f(x)是二次函数,不等式f(x)<0的解集是(0,5),且f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线6x+y+1=0平行.
(1)求f(x)的解析式;
(2)是否存在t∈N*,使得方程f(x)+
37
x
=0
在区间(t,t+1)内有两个不等的实数根?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.
答案

(1)∵f(x)是二次函数,且f(x)<0的解集是(0,5),

∴可设f(x)=ax(x-5)=ax2-5ax,(a>0).

∴f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率是:f′(1)=-3a=-6.

∴a=2,∴f(x)=2x(x-5)=2x2-10x(x∈R).

(2)方程f(x)+

37
x
=0等价于方程 2x3-10x2+37=0.

设h(x)=2x3-10x2+37,则h'(x)=6x2-20x=2x(3x-10).

在区间x∈(0,

10
3
)时,h'(x)<0,h(x)是减函数;

在区间(-∞,0),或(

10
3
,+∞)上,h'(x)>0,h(x)是增函数,故h(0)是极大值,h(
10
3
)是极小值.

∵h(3)=1>0,h(

10
3
)=-
1
27
<0,h(4)=5>0,

∴方程h(x)=0在区间(3,

10
3
),(
10
3
,4)内分别有惟一实数根,故函数h(x)在(3,4)内有2个零点.

而在区间(0,3),(4,+∞)内没有零点,在(-∞,0)上有唯一的零点.

画出函数h(x)的单调性和零点情况的简图,如图所示.

所以存在惟一的正整数t=3,使得方程f(x)+

37
x
=0在区间(t,t+1)内有且只有两个不同的实数根.

口语交际,情景问答题

为下面这则调查报告写一个调查结论,并提供一些建议。

普洱茶由于其保健功效和收藏价值被无限度放大,近几年价格大幅飙升,卖出天价的消息频繁见诸媒体。但今年5月初,普洱茶的价格却一落千丈,使投资者利益大损,一时之间,“跳水”、“崩盘”、“泡沫”等词语充斥各大媒体版面。

对普洱茶炒作的结果,显著表现便是市场的混乱。一直以来,普洱茶市场缺乏统一的标准,重年限者有之,论产地者有之,令消费者无所适从。大多数普洱茶生产企业仍为小作坊,人数少,生产能力差,根本达不到市场准入条件。杂牌产品、贴牌产品良莠不齐,严重扰乱了市场秩序。此外,通过“拍卖”造势、拉抬价格的做法,将拍卖普洱藏品步步拉升,使消费者深爱其害。然而,普洱茶“迅速走红”的最大负面后果还是竭泽而渔,给茶树资源造成不可挽回的损失。据统计,2007年,云南茶叶总产量的百分之七十做成了普洱茶。

答:调查结论:                                                                                               

建议:                                                                                                             

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