已知a∈R,函数f(x)=
(1)求函数f(x)在区间(0,e]上的最小值; (2)是否存在实数x0∈(0,e],使曲线y=g(x)在点x=x0处的切线与y轴垂直?若存在,求出x0的值;若不存在,请说明理由. |
(1)∵f(x)=
+lnx-1,a x
∴f′(x)=-
+a x2
=1 x x-a x2
令f'(x)=0,得x=a.
①若a≤0,则f'(x)>0,f(x)在区间(0,e]上单调递增,此时函数f(x)无最小值.
②若0<a<e,当x∈(0,a)时,f'(x)<0,函数f(x)在区间(0,a)上单调递减,
当x∈(a,e]时,f'(x)>0,函数f(x)在区间(a,e]上单调递增,
所以当x=a时,函数f(x)取得最小值lna
③若a≥e,则f'(x)≤0,函数f(x)在区间(0,e]上单调递减,
所以当x=e时,函数f(x)取得最小值
.a e
.综上可知,当a≤0时,函数f(x)在区间(0,e]上无最小值;
当0<a<e时,函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为lna;
当a≥e时,函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为
.a e
(2)∵g(x)=(lnx-1)ex+x,x∈(0,e],
∴g'(x)=(lnx-1)′ex+(lnx-1)(ex)′+1=
+(lnx-1)ex+1=(ex x
+lnx-1)ex+1.1 x
由(1)可知,当a=1时,f(x)=
+lnx-1.1 x
此时f(x)在区间(0,e]上的最小值为ln1=0,即
+lnx-1≥0.(10分)1 x
当x0∈(0,e],ex0>0,
+lnx0-1≥0,1 x0
∴g′(x0)=(
+lnx0-1)ex0+1≥1>0.1 x0
曲线y=g(x)在点x=x0处的切线与y轴垂直等价于方程g'(x0)=0有实数解.(13分)
而g'(x0)>0,即方程g'(x0)=0无实数解.、故不存在x0∈(0,e],使曲线y=g(x)在点x=x0处的切线与y轴垂直.