∵A，B，C是直线l上的点，O是直线l外一点，且

OA

-[f(x)+

f(1)

3

]

OB

+x3

OC

=

0

，

∴f（x）+

f(1)

3

-x³=0，

∴f（1）+

f(1)

3

-1=0，

∴f（1）=

3

4

，

∴f（x）=x³-

1

4

，

∴af（x）-3x+1≥0为a（x³-

1

4

）-3x+1≥0

（1）a=0时，-3x+1≥0在[-1，1]上不能恒成立

（2）a＜0时，f′（x）=3ax²-3＜0，f（x）是减函数，其最小值为f（1）．

若对x∈[-1，1]，f（x）≥0恒成立，则需f（1）≥0

即

3

4

a-3+1≥0，

∴a≥

8

3

，

∵a＜0，∴此时无解．

（3）a＞0时，f（x）=a（x³-

1

4

）-3x+1≥0恒成立，x∈[-1，1]，

①x=0时，-

a

4

+1≥0成立，∴a≥4

②0＜x≤1时，a≥

3x-1

x3

令g（x）=

3x-1

x3

，求导得g′（x）=

-6x+3

x4

易知0＜x＜

1

2

时函数递增，

1

2

＜x＜1时递减，

∴g（x）最大值为g（

1

2

）=4，

∴a≥4

③-1≤x＜0时，a≤

3x-1

x3

令g（x）=

3x-1

x3

，求导得g′（x）=

-6x+3

x4

可知g（x）在-1＜x＜0时是增函数，其最小值为g（-1）=4

∴a≤4

由②知a≥4，

∴a=4．

综上知a=4．