已知函数f（x）=mx3-3（m+1）x2+3（m+2）x+1，其中m∈R．
（I）若m＜0，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）在（I）的条件下，当x∈[-1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围；
（Ⅲ）设g（x）=mx3-（3m+2）x2+3mx+4lnx+m+1，问是否存在实数m，使得y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
（I）∵f（x）=mx3-3（m+1）x2+3（m+2）x+1，
∴f'（x）=3mx2-6（m+1）x+3m+6=3m(x-1)[x-(1+
)]…（2分）2 m
当m＜0时，有1＞1+
，2 m
当x变化时，f（x）与f'（x）的变化如下表：
| x | (-∞，1+
| 1+
| (1+
| 1 | （1，+∞） | ||||||
| f'（x） | ＜0 | 0 | ＞0 | 0 | ＜0 | ||||||
| f（x） | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 | 极大值 | 单调递减 |
故有上表知，
当m＜0时，f（x）
在(-∞，1+
)单调递减，2 m
在(1+
，1)单调递增，2 m
在（1，+∞）上单调递减．…（5分）
（Ⅱ）由已知得f'（x）＞3m，
即mx2-2（m+1）x+2＞0
又m＜0，
所以x2-
(m+1)x+2 m
＜0（x∈[-1，1]） ①…（6分）2 m
设g(x)=x2-2(1+
)x+1 m
，2 m
其函数开口向上，由题意知①式恒成立，
∴
⇒g(-1)＜0 g(1)＜0
…（8分）1+2+
+2 m
＜02 m -1＜0
解之得m＞-4 3
又m＜0所以m的取值范围为(-
，0)…（9分）4 3
（Ⅲ）令φ（x）=g（x）-f（x），
则φ（x）=x2-6x+4lnx+m
因为x＞0，要使函数f（x）与函数g（x）有且仅有2个不同的交点，
则函数φ（x）=x2-6x+4lnx+m的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点
∴φ′(x)=2x-6+
=4 x
=2x2-6x+4 x
(x＞0)2(x-1)(x-2) x
当x∈（0，1）时，ϕ′（x）＞0，ϕ（x）是增函数；
当x∈（1，2）时，ϕ′（x）＜0，ϕ（x）是减函数
当x∈（2，+∞）时，ϕ′（x）＞0，ϕ（x）是增函数
∴φ（x）有极大值φ（1）=m-5；
φ（x）有极小值φ（2）=m+4ln2-8…（12分）
又因为当x充分接近0时，φ（x）＜0；当x充分大时，φ（x）＞0
所以要使ϕ（x）=0有且仅有两个不同的正根，
必须且只须
或φ′(1)=0 φ′(2)＜0 φ′(2)=0 φ′(1)＞0
即
或m-5=0 m+4ln2-8＜0
，m+4ln2-8=0 m-5＞0
∴m=5或m=8-4ln2．
∴当m=5或m=8-4ln2时，
函数f（x）与g（x）的图象有且只有两个不同交点．…（14分）