问题
填空题
在平面直角坐标系xOy中，点P是第一象限内曲线y=-x3+1上的一个动点，点P处的切线与两个坐标轴交于A，B两点，则△AOB的面积的最小值为______．
答案
根据题意设P的坐标为（t，-t3+1），且0＜t＜1，
求导得：y′=-3x2，故切线的斜率k=y′|x=t=-3t2，
所以切线方程为：y-（-t3+1）=-3t2（x-t），
令x=0，解得：y=2t3+1；令y=0，解得：x=
| 2t3+1 |
| 3t2 |
所以△AOB的面积S=
| 1 |
| 2 |
| 2t3+1 |
| 3t2 |
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| t |
设y=2t2+
| 1 |
| t |
| 1 |
| 2t |
| 1 |
| 2t |
| 3 | 2t2•
| ||||
当且仅当2t2=
| 1 |
| 2t |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| ||
把t=
| 3 |
| ||
3
| |||
| 4 |
故答案为：
3
| |||
| 4 |