如图甲所示，两平行金属板间距为2l，极板长度为4l，两极板间加上如图乙所示的交变电压（t=0时上极板带正电）．以极板间的中心线OO1为x轴建立坐标系，现在平行板左侧入口正中部有宽度为l的电子束以平行于x轴的初速度v0从t=0时不停地射入两板间．已知电子都能从右侧两板间射出，射出方向都与x轴平行，且有电子射出的区域宽度为2l．电子质量为m，电荷量为e，忽略电子之间的相互作用力．
（1）求交变电压的周期T和电压U0的大小；
（2）在电场区域外加垂直纸面的有界匀强磁场，可使所有电子经过有界匀强磁场均能会聚于（6l，0）点，求所加磁场磁感应强度B的最大值和最小值；
（3）求从O点射入的电子刚出极板时的侧向位移．
（1）电子在电场中水平方向做匀速直线运动，
则：4l=v0nT，解得：T=（n=1，2，3…），
电子在电场中运动最大侧向位移：
=2n•a()2，由牛顿第二定律得：a=，
解得：U0=（n=1，2，3…）；
（2）粒子运动轨迹如图所示：
由图示可知，最大区域圆半径满足：rm2=(2l)2+(rm-l)2，解得：rm=2.5l，
对于带电粒子当轨迹半径等于磁场区域半径时，带电粒子将汇聚于一点，
由牛顿第二定律得：qv0Bmin=，解得：Bmin=，
最小区域圆半径为rn=0.5l，
由牛顿第二定律得：qv0Bmax=，解得：Bmax=；
（3）设时间为τ，＞τ＞0，若t=kT+τ且(＞τ＞0)时电子进入电场，
则： | | y1=n[a(-τ)2•2-aτ2•2]=n[aT2-aTτ]=- |
| |
，其中（n=1，2，3…，k=0，1，2，3…），
若t=(k+)T+τ且(＞τ＞0)进入电场
则：y2=-n[aT2-aTτ]=(t-kT-T)-=-l，其中（n=1，2，3…，k=0，1，2，3…）；
或：若电子在t=kT+τ且(T＞τ＞)进入电场时，出电场的总侧移为：
| | y2=n[-a(T-τ)2•2+a(τ-)2] | | =n[-aT2+aTτ]=-l+ |
| |
，其中（n=1，2，3…，k=0，1，2，3…）；
其他解法：若kT＜t＜kT+，则
电子沿+y方向第一次加速的时间为-(t-kT)
电子沿-y方向第一次加速的时间为t-kTy={a[-(t-kT)]2-a(t-kT)2}•2n
解得：y=naT2-naTt，其中aT2=，aT=v0，
∴y=l-nv0t（n=1，2，3…，k=0，1，2，3…）
若kT+＜t＜kT+T，则
电子沿-y方向第一次加速的时间为T-（t-kT）
电子沿+y方向第一次加速的时间为t-kT-y={-a[T-(t-kT)]2+a(t-kT-)2}•2n
解得：y=naT2-naTt，其中aT2=，aT=v0，∴y=nv0t-l（n=1，2，3…，k=0，1，2，3…）；
答：（1）交变电压的周期T=（n=1，2，3…），电压U0=（n=1，2，3…）；
（2）所加磁场磁感应强度B的最大值Bmax=；最小值Bmin=；
（3）从O点射入的电子刚出极板时的侧向位移为-其中（n=1，2，3…，k=0，1，2，3…），或-l，其中（n=1，2，3…，k=0，1，2，3…）．
