已知a>0,函数f(x)=|
(I)记f(x)在区间[0,4]上的最大值为g(a),求g(a)的表达式; (II)是否存在a使函数y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由. |
(I)当0≤x≤a时,f(x)=
;当x>a时,f(x)=a-x x+2a x-a x+2a
∴当0≤x≤a时,f′(x)=
<0,f(x)在(0,a)上单调递减;-3a (x+2a)2
当x>a时,f′(x)=
>0,f(x)在(a,+∞)上单调递增.3a (x+2a)2
①若a≥4,则f(x)在(0,4)上单调递减,g(a)=f(0)=1 2
②若0<a<4,则f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,4)上单调递增
∴g(a)=max{f(0),f(4)}
∵f(0)-f(4)=
-1 2
=4-a 4+2a a-1 2+a
∴当0<a≤1时,g(a)=f(4)=
;当1<a<4时,g(a)=f(0)=4-a 4+2a
,1 2
综上所述,g(a)=
;
,0<a≤14-a 4+2a
,a>11 2
(II)由(I)知,当a≥4时,f(x)在(0,4)上单调递减,故不满足要求;
当0<a<4时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,4)上单调递增,若存在x1,x2∈(0,4)(x1<x2),使曲线y=f(x)在
两点处的切线互相垂直,则x1∈(0,a),x2∈(a,4),且f′(x1)f′(x2)=-1
∴
•-3a (x1+2a)2
=-13a (x2+2a)2
∴x1+2a=
①3a x2+2a
∵x1∈(0,a),x2∈(a,4),
∴x1+2a∈(2a,3a),
∈(3a x2+2a
,1)3a 4+2a
∴①成立等价于A=(2a,3a)与B=(
,1)的交集非空3a 4+2a
∵
<3a,∴当且仅当0<2a<1,即0<a<3a 4+2a
时,A∩B≠∅1 2
综上所述,存在a使函数y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直,且a的取值范围是(0,
).1 2