问题 解答题
已知a>0,函数f(x)=|
x-a
x+2a
|

(I)记f(x)在区间[0,4]上的最大值为g(a),求g(a)的表达式;
(II)是否存在a使函数y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
答案

(I)当0≤x≤a时,f(x)=

a-x
x+2a
;当x>a时,f(x)=
x-a
x+2a

∴当0≤x≤a时,f′(x)=

-3a
(x+2a)2
<0,f(x)在(0,a)上单调递减;

当x>a时,f′(x)=

3a
(x+2a)2
>0,f(x)在(a,+∞)上单调递增.

①若a≥4,则f(x)在(0,4)上单调递减,g(a)=f(0)=

1
2

②若0<a<4,则f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,4)上单调递增

∴g(a)=max{f(0),f(4)}

∵f(0)-f(4)=

1
2
-
4-a
4+2a
=
a-1
2+a

∴当0<a≤1时,g(a)=f(4)=

4-a
4+2a
;当1<a<4时,g(a)=f(0)=
1
2

综上所述,g(a)=

4-a
4+2a
,0<a≤1
1
2
,a>1

(II)由(I)知,当a≥4时,f(x)在(0,4)上单调递减,故不满足要求;

当0<a<4时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,4)上单调递增,若存在x1,x2∈(0,4)(x1<x2),使曲线y=f(x)在

两点处的切线互相垂直,则x1∈(0,a),x2∈(a,4),且f′(x1)f′(x2)=-1

-3a
(x1+2a)2
3a
(x2+2a)2
=-1

x1+2a=

3a
x2+2a

∵x1∈(0,a),x2∈(a,4),

∴x1+2a∈(2a,3a),

3a
x2+2a
∈(
3a
4+2a
,1)

∴①成立等价于A=(2a,3a)与B=(

3a
4+2a
,1)的交集非空

3a
4+2a
<3a,∴当且仅当0<2a<1,即0<a<
1
2
时,A∩B≠∅

综上所述,存在a使函数y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直,且a的取值范围是(0,

1
2
).

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