问题
解答题
设l为曲线C：y=
（Ⅰ）求l的方程； （Ⅱ）证明：除切点（1，0）之外，曲线C在直线l的下方． |
答案
（I）∵y=lnx x
∴y′=1-lnx x2
∴l的斜率k=y′|x=1=1
∴l的方程为y=x-1
证明：（II）令f（x）=x（x-1）-lnx，（x＞0）
则f′（x）=2x-1-
=1 x (2x+1)(x-1) x
∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，又f（1）=0
∴x∈（0，1）时，f（x）＞0，即
＜x-1lnx x
x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，即
＜x-1lnx x
即除切点（1，0）之外，曲线C在直线l的下方