已知地球半径R=6400km,地球表面的重力加速度g=10m/s2,不考虑地球自转的影响.求:
(1)推导第一宇宙速度v1的表达式,并计算其数值;
(2)若地球自转周期T=24h,计算地球同步卫星距离地面的高度h;
(3)若已知万有引力常量G=6.7×10-11N•m2/kg2,估算地球的平均密度ρ.(以上计算结果保留一位有效数字)
(1)当卫星在地球表面附近运动行时,受地球的万有引力提供向心力,即
G
=mmM R2 v2 R
得:卫星运行速度v=
①GM R
又因为在不考虑地球的自转,地球表面的重力和万有引力相等,故有mg=G
,所以有mM R2
GM=gR2 ②
将②代入①可得:
v1=
=gR
m/s=8×103m/s10×6400×103
(2)同步卫星运动地周期与地球自转周期相同,即T=24h=24×3600s,同步卫星受到地球的万有引力提供向心力,故有:
G
=m(R+h)(mM (R+h)2
)22π T
可得R+h=
即:3 GMT2 4π2
h=
-R ③3 GMT2 4π2
将②代入③得:h=
-R=3 gR2T2 4π2
-6400×103m≈4×107m3 10×(6400×103)2×(24×3600)2 4×3.142
(3)由②式得M=
④gR2 G
由几何知识知,地球的体积V=
πR3 ⑤4 3
所以地球的密度ρ=
=M V
=gR2 G
πR34 3
=3g 4πRG
kg/m3≈6×103Kg/m3.3×10 4×3.14×6400×103×6.7×10-11
答:(1)第一宇宙速度表达式v1=
,数值为8×103m/s;GM R
(2)同步卫星距地面的高度h=4×107m;
(3)地球的平均密度ρ=6×103Kg/m3.