问题 问答题

已知地球半径R=6400km,地球表面的重力加速度g=10m/s2,不考虑地球自转的影响.求:

(1)推导第一宇宙速度v1的表达式,并计算其数值;

(2)若地球自转周期T=24h,计算地球同步卫星距离地面的高度h;

(3)若已知万有引力常量G=6.7×10-11N•m2/kg2,估算地球的平均密度ρ.(以上计算结果保留一位有效数字)

答案

(1)当卫星在地球表面附近运动行时,受地球的万有引力提供向心力,即

G

mM
R2
=m
v2
R

得:卫星运行速度v=

GM
R
      ①

又因为在不考虑地球的自转,地球表面的重力和万有引力相等,故有mg=G

mM
R2
,所以有

GM=gR2       ②

将②代入①可得:

v1=

gR
=
10×6400×103
m/s=8×103m/s

(2)同步卫星运动地周期与地球自转周期相同,即T=24h=24×3600s,同步卫星受到地球的万有引力提供向心力,故有:

G

mM
(R+h)2
=m(R+h)(
T
)2

可得R+h=

3
GMT2
4π2
即:

h=

3
GMT2
4π2
-R              ③

将②代入③得:h=

3
gR2T2
4π2
-R=
3
10×(6400×103)2×(24×3600)2
4×3.142
-6400×
103m≈4×107m

(3)由②式得M=

gR2
G
     ④

由几何知识知,地球的体积V=

4
3
πR3         ⑤

所以地球的密度ρ=

M
V
=
gR2
G
4
3
πR3
=
3g
4πRG
=
3×10
4×3.14×6400×103×6.7×10-11
kg/m3≈6×103Kg/m3

答:(1)第一宇宙速度表达式v1=

GM
R
,数值为8×103m/s;

(2)同步卫星距地面的高度h=4×107m;

(3)地球的平均密度ρ=6×103Kg/m3

单项选择题 B1型题
单项选择题