问题 选择题

设地球是一个密度均匀的球体,已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零,如果沿地球的直径挖一条隧道,将物体从此隧道一端由静止释放刚好运动到另一端(如图所示),不考虑阻力,在此过程中关于物体的运动速度v随时间t变化的关系图象可能是(  )

A.

B.

C.

D.

答案

如果物体在距地心为r处(r≤R),那么这个物体只会受到以地心为球心、以r为半径的那部分球体的万有引力,

而距地心为r到R之间的物质对物体作用力的合力为零.物体掉入隧道之后,不是做自由落体运动.

设物体的质量为m,地球密度为ρ,以半径为r的那部分球体的质量为M,距地心r处的重力加速度为g,

则M=

4
3
πr3ρ,

GMm
r2
=mg,得

g=

GMm
r2
=
4
3
πρGr. ①

由于物体掉入隧道之后,r在变化,由①式可知g也在变化,且离地心越近g越小,在地心处g=0.所以物体不是做自由落体运动.

考虑到方向,有g=-

4
3
πρGr,即物体的加速度g与位移r大小成正比、方向相反,所以物体在隧道中的运动是简谐运动.

故选C.

选择题
多项选择题