问题
问答题
假设宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的四颗星组成的四星系统，设其它星体对它们的引力作用可忽略．已知稳定的四星系统存在两种基本构成形式，一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，第四颗位于其中心，顶点上的三颗星沿外接于等边三角形的圆形轨道运行；另一种形式是四颗星位于正方形的四个顶点上，围绕正方形的中心做圆轨道运行．设所有星体的质量均相等，等边三角形边长和正方形边长相等，试求出这两种情况下四星系统的运动周期T1和T2之比．
答案
对于第一种形式：
其轨道半径为r1=
a3 3
由万有引力定律和向心力公式得：
+2Gm2 r 21
cos30°=mr1Gm2 a 2 4π2 T 21
解得：T1=2πa
①a 3(1+
)Gm3
对于第二种形式：星体在其他三个星体的万有引力作用下围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，其轨道半径半径r2=
a2 2
由万有引力定律和向心力公式得：
+2Gm2 2a 2
cos45°=mr2Gm2 a 2 4π2 T 22
解得：T2=2πa
②2a (4+
)Gm2
由①②解得：
=T1 T2 (4+
)(2
-1)3 12
答：这两种情况下四星系统的运动周期之比
．(4+
)(2
-1)3 12