（1）由f（x）=x²-alnx，得f′(x)=

2x2-a

x

，所以f^′（1）=2-a．

由g(x)=

1

a

x-

x

，得g′(x)=

2 x -a

2a x

，所以g′(1)=

2-a

2a

．

又由题意可得f'（1）=g'（1），

即2-a=

2-a

2a

，故a=2，或a=

1

2

．

所以当a=2时，f（x）=x²-2lnx，g(x)=

1

2

x-

x

；

当a=

1

2

时，f(x)=x2-

1

2

lnx，g(x)=2x-

x

．

（2）当a＞1时，a=2，h(x)=f(x)-g(x)=x2-2lnx-

1

2

x+

x

，

函数h（x）的定义域为（0，+∞）．

h′(x)=2x-

2

x

-

1

2

+

1

2 x

=

2(x-1)(x+1)

x

-

x -1

2 x

=(

x

-1)[

4(x x + x +x+1)- x

2x

]．

由x＞0，得

4(x x + x +x+1)- x

2x

＞0，

故当x∈（0，1）时，h'（x）＜0，h（x）递减，

当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）递增，

所以函数h（x）在（0，+∞）上的最小值为h(1)=1-2ln1-

1

2

+1=

3

2

．

（3）因为a＜1，所以a=

1

2

，此时f(x)=x2-

1

2

lnx，g(x)=2x-

x

，

当x∈[

1

4

，

1

2

)时，由f(x)=x2-

1

2

lnx，得f′(x)=2x-

1

2x

=

4x2-1

2x

＜0，

f（x）在[

1

4

，

1

2

]上为减函数，f(x)≥f(

1

2

)=

1

4

+

1

2

ln2＞0．

当x∈[

1

4

，

1

2

)时，由g(x)=2x-

x

，得g′(x)=2-

1

2 x

=

4 x -1

2 x

＞0，

g（x）在[

1

4

，

1

2

]上为增函数，g(x)≤g(

1

2

)=1-

2

2

，且g(x)≥g(

1

4

)=0．

要使不等式f（x）≥m•g（x）在x∈[

1

4

，

1

2

]上恒成立，当x=

1

4

时，m为任意实数；

当x∈(

1

4

，

1

2

]时，不等式f（x）≥m•g（x）化为m≤

f(x)

g(x)

，

而[

f(x)

g(x)

]min=

f( 1 2 )

g( 1 2 )

=

(2+ 2 )

4

ln(4e)．

所以m≤

(2+ 2 )

4

ln(4e)．

所以当a＜1时，不等式f（x）≥m•g（x）在x∈[

1

4

，

1

2

]上恒成立的实数m的取值范围为(-∞，

(2+ 2 )

4

ln(4e)]．