问题
解答题
已知函数f（x）=x+b的图象与函数g（x）=x2+3x+2的图象相切，记F（x）=f（x）g（x）．
（1）求实数b的值及函数F（x）的极值；
（2）若关于x的方程F（x）=k恰有三个不等的实数根，求实数k的取值范围．
答案
（1）依题意，令f′（x）=g′（x），得1=2x+3，故x=-1
函数f（x）的图象与函数g（x）的图象的切点为（-1，0）
将切点坐标代入函数f（x）=x+b可得b=1
（或：依题意得f（x））=g（x），
即x2+2x+2-b=0有唯一实数解
故△=22-4（2-b）=0，即b=1
∴F（x）=（x+1）（x2+2x+2）=x3+4x2+5x+2
故F′（x）=0，解得x=-1或x=-
．5 3
列表如下：
从上表可知F(x)在x=-
处取得极大值5 3
，在x=-1处取得极小值．4 27
（2）由（1）可知涵数y=F（x）大致图象如图所示．
作函数y=k的图象，当y=F（x）的图象与函数y=k的图象有三个交点时，
关于x的方程F（x）=k恰有三个不等的实数根．结合图形可知k∈(0，
)．4 27
