问题
解答题
设函数f（x）=-x3+3x+2分别在x1、x2处取得极小值、极大值．xoy平面上点A、B的坐标分别为（x1，f（x1））、（x2，f（x2）），该平面上动点P满足
（I）求点A、B的坐标； （II）求动点Q的轨迹方程． |
答案
（Ⅰ）令f'（x）=（-x3+3x+2）'=-3x2+3=0解得x=1或x=-1
当x＜-1时，f'（x）＜0，
当-1＜x＜1时，f'（x）＞0，
当x＞1时，f'（x）＜0
所以，函数在x=-1处取得极小值，在x=1取得极大值，
故x1=-1，x2=1，f（-1）=0，f（1）=4
所以，点A、B的坐标为A（-1，0），B（1，4）．
（Ⅱ）设p（m，n），Q（x，y），
•PA
=(-1-m，-n)•(1-m，4-n)=m2-1+n2-4n=4kPQ=-PB
，所以1 2
=-y-n x-m
，又PQ的中点在y=2（x-4）上，1 2
所以
=2(y+m 2
-4)x+n 2
消去m，n得（x-8）2+（y+2）2=9