问题
问答题
已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度大小为g，万有引力常量为G，不考虑地球自转的影响．试求：
（1）卫星绕地球运行的第一宇宙速度v1的大小
（2）若卫星绕地球做匀速直线运动且运行周期为T，求卫星运行的轨道半径r
（3）由题干所给条件，推导出地球平均密度的ρ表达式．
答案
（1）设卫星的质量为m，地球的质量为M，根据万有引力定律，
物体在地球表面附近满足
=mg，GMm R2
第一宇宙速度是指卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，
卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力，即
=mGMm R2
或mv 21 R2
=mg，v 21 R2
联立解得：v1=
．Rg
（2）根据卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力得：
=mGMm r2
r，4π2 T2
联立
解得：r=
．3 gR2T2 4π2
（3）将地球看成是半径为R的均匀球体，其体积为V=
πR34 3
地球的平均密度ρ=
，联立解得：ρ=M V
．3g 4πGR
答：（1）卫星绕地球运行的第一宇宙速度v1的大小为
；Rg
（2）若卫星绕地球做匀速直线运动且运行周期为T，卫星运行的轨道半径r为
；3 gR2T2 4π2
（3）地球平均密度的ρ表达式为
．3g 4πGR