（1）∵函数f(x)=

1

3

x3+2ax2+ax+b(a≠0)，A={x∈R|f′(x)=0}，

∴f′（x）=x²+4ax+a，

∵x₁，x₂∈A，∴f′（x）=0有两个实根，

∴x₁+x₂=-4a，x₁x₂=a，△=16a²-4a＞0，

∴a＞

1

4

，或a＜0，

∵（1+x₁）（1+x₂）=1+（x₁+x₂）+x₁x₂=1-4a+a=1-3a，

（1-4a-x₁）（1-4a-x₂）=1-8a+16a²+（4a-1）（x₁+x₂）+x₁x₂

=1-3a．

∵B={a|

a

(1+x1)(1+x2)

-

2

(1-4a-x1)(1-4a-x2)

≤a-2，且x1，x2∈A}，

∴

a

1-3a

-

2

1-3a

=

a-2

1-3a

≤a-2，

∴

(a-2)(1-1+3a)

1-3a

≤0，即

3a(a-2)

3a-1

≥0，

解得0＜a＜

1

3

，或a≥2．

综上所述，B={a|

1

4

＜a＜

1

3

，或a≥2}．

（2）∵x∈Z，且x∈B，∴x≥2，∴

1

x

∈（0，

1

2

]，

令t=

1

x

∈（0，

π

2

），令R（t）=tant-t，

则R′(t)=

cos2t+sin2t

cos2t

-1=tan²t＞0，

∴R（t）在（0，

π

2

）上单调递增，

∴R（t）＞R（0）=0，∴tant-a＞0，

∴tan

1

x

＞

1

x

．

（3）由（2）得x≥2时，tan

1

x

＞

1

x

，

∵

2012

＞2，

∴tan

1

2012

＞

1

2012

，∴tan′(

1

2012

)＞

1

2012

，

∴

sin2 1 2012

cos2 1 2012

＞

1

2012

，∴2012•sin′（

1

2012

）＞cos′(

1

2012

)，

∴2012•sin′(

1

2012

)＞1-sin′(

1

2012

)，

∴2013sin′(

1

2012

)＞1，

∵sin′(

1

2012

)＞

1

2013

，

∵

1

2012

∈(0，

π

2

)，

∴sin

1

2012

＞sin

1

2013

．