如图甲所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上．在xoy平面

问题问答题

如图甲所示，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上．在xoy平面内有与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆形区域内加有与xoy平面垂直的匀强磁场．在坐标原点O处放置一带电微粒发射装置，它可以连续不断地发射具有相同质量m、电荷量q（q＞0）和初速为v₀的带电粒子．已知重力加速度大小为g．

（1）当带电微粒发射装置连续不断地沿y轴正方向发射这种带电微粒时，这些带电微粒将沿圆形磁场区域的水平直径方向离开磁场，并继续沿x轴正方向运动．求电场强度和磁感应强度的大小和方向．

（2）调节坐标原点．处的带电微粒发射装置，使其在xoy平面内不断地以相同速率v₀沿不同方向将这种带电微粒射入第1象限，如图乙所示．现要求这些带电微粒最终都能平行于x轴正方向运动，则在保证匀强电场、匀强磁场的强度及方向不变的条件下，应如何改变匀强磁场的分布区域？并求出符合条件的磁场区域的最小面积．

答案

（1）由题目中“带电粒子从坐标原点O处沿y轴正方向进入磁场后，最终沿圆形磁场区域的水平直径离开磁场并继续沿x轴正方向运动”可知，带电微粒所受重力与电场力平衡．设电场强度大小为E，由平衡条件得：

mg=qE

∴E=

电场方向沿y轴正方向

带电微粒进入磁场后，做匀速圆周运动，且圆运动半径r=R．

设匀强磁场的磁感应强度大小为B．由牛顿第二定律得：

qv₀B=m

v02

∴B=

mv0

磁场方向垂直于纸面向外

（2）设由带电微粒发射装置射入第Ⅰ象限的带电微粒的初速度方向与x轴承夹角θ，

则θ满足0≤θ＜

，由于带电微粒最终将沿x轴正方向运动，

故B应垂直于xoy平面向外，带电微粒在磁场内做半径为

mv0

匀速圆周运动．

由于带电微粒的入射方向不同，若磁场充满纸面，

它们所对应的运动的轨迹如图所示

为使这些带电微粒经磁场偏转后沿x轴正方向运动．

由图可知，它们必须从经O点作圆运动的各圆的最高点飞离磁场．这样磁场边界上P点的坐标P（x，y）应满足方程：

x=Rsinθ，

y=R（1-cosθ），

所以磁场边界的方程为：

x²+（y-R）²+R²

由题中0≤θ＜

的条件可知

以θ→

的角度射入磁场区域的微粒的运动轨迹

（x-R）²+y²=R²

即为所求磁场的另一侧的边界．

因此，符合题目要求的最小磁场的范围应是圆

x²+（y-R）²=R²与圆（x-R）²+y²=R²的

交集部分（图中阴影部分）．

由几何关系，可以求得符合条件的磁场的最小面积为：

S_min=（

-1）

m2v02

q2B2

=（

-1）R²．

答：（1）电场强度的大小为

方向沿y轴正方向；磁感应强度的大小为

mv0

，方向垂直纸面向外．

（2）匀强磁场的分布区域如图所示，求出符合条件的磁场区域的最小面积为（

-1）R²．．