已知函数f（x）=ex（x2+ax+1）．（1）若曲线y=f（x）在点（2，f

问题解答题

已知函数f（x）=e^x（x²+ax+1）．

（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线与x轴平行，求a的值；

（2）求函数f（x）的极值．

答案

f'（x）=e^x[x²+（a+2）x+a+1]（2分）

（1）f'（2）=e²[4+2（a+2）+a+1]=0，解得a=-3（4分）

（2）令f'（x）=0，得x₁=-1，x₂=-1-a

当a=0时，无极值（7分）

当a＞0，-1＞-1-a，f（x）在（-∞，-1-a），（-1，+∞）上递增，（-1-a，-1）上递减

极大值为f（-1-a）=e^-1-a（a+2），极小值f(-1)=

2-a

（10分）

当a＜0时，-1＜-1-a，f（x）在（-∞，-1），（-1-a，+∞）上递增，（-1，-a-1）上递减

极大值为f(-1)=

2-a

，极小值f（-1-a）=e^-1-a（a+2）（13分）