问题
解答题
| （1）已知函数f（x）=-x2+4（x∈（-1，2）），P、Q是f（x）图象上的任意两点． ①试求直线PQ的斜率kPQ的取值范围； ②求f（x）图象上任一点切线的斜率k的范围； （2）由（1）你能得出什么结论？（只须写出结论，不必证明），试运用这个结论解答下面的问题：已知集合MD是满足下列性质函数f（x）的全体：若函数f（x）的定义域为D，对任意的x1，x2∈D，（x1≠x2）有|f（x1）-f（x2）|＜|x1-x2|． ①当D=（0，1）时，f（x）=lnx是否属于MD，若属于MD，给予证明，否则说明理由； ②当D=(0，
|
答案
（1）=1 ①设P（x1，f（x1）），Q（x2，f（x2））是f（x）图象上的任意两点（x1≠x2），则kPQ=
=f(x2)-f(x1) x2-x1
=-(x2+x1)，(-x22+4)-(-x12+4) x2-x1
由x1，x2∈（-1，2），知-（x1+x2）∈（-4，2），
∴直线PQ的斜率kPQ的取值范围是（-4，2）；
②由f′（x）=-2x，x∈（-1，2），得f′（x）∈（-4，2），
∴f（x）图象上任一点切线的斜率k的范围是（-4，2）；
（2）由（1）得：函数y=f（x）图象上任意两点P、Q连线的斜率k=
(x1≠x2)的取值范围，y1-y2 x1-x2
就是曲线上任一点切线的斜率（如果有的话）的范围（其实由导数的定义可得）．
①∵f′(x)=
，∴若x∈（0，1），f′（x）＞1⇒|f′（x）|＞1，1 x
∴|
|＞1，当x1，x2∈（0，1）时，f（x）=lnx∉MD．f(x1)-f(x2) x1-x2
②由f（x）=x3+ax+b⇒f′（x）=3x2+a，当x∈(0，
)时，3 3
a＜f′（x）＜1+a．∵f（x）∈MD，
∴|f(x1)-f(x2)|＜|x1-x2|，即|
|＜1，f(x1)-f(x2) x1-x2
∴
，得-1≤a≤0．a≥-1 1+a≤1
∴实数a的取值范围是[-1，0]．