（1）证明：f（x）在[1，+∞）上的单调递增．

设x₁，x₂为[1，+∞）上任意两个实数，且1≤x₁＜x₂，则x₁-x₂＜0f(x1)-f(x2)=(1-

1

x1

)-(1-

1

x2

)=

1

x2

-

1

x1

=

x1-x2

x1x2

＜0∴f（x）在[1，+∞）上的单调递增．

（2）当

1

2

≤x≤2时

1

2

≤

1

x

≤2，-

1

2

≤

1

x

-1≤1，0≤|

1

x

-1|≤1

∴A=[0，1]=B

（3）由题意，显然m＞0，对函数的单调性进行研究知，函数在（-∞，0）上是增函数，在x=0处函数值不存在，在（0，1）函数是减函数，在（1，+∞）函数是增函数，由此结合函数的连续性可以得出ab＞0且1∉[a，b]．

①当b＜0时，f（x）在[a，b]上为增函数∴

1- 1 a =ma 1- 1 b =mb

，即a，b为方程1-

1

x

=mx的两根．

∴mx²-x+1=0有两个不等的负根.

m＞0 1 2m ＜0

，此不等式组无解．

②当a≥1时，f（x）在[a，b]上为增函数∴

1- 1 a =ma 1- 1 b =mb

，即a，b为方程1-

1

x

=mx的两根．

∴mx²-x+1=0有两个不等的大于1的根.

m＞0 1 2m ＞1⇒m＜ 1 2 △=1-4m＞0⇒m＜ 1 4

，解得0＜m＜

1

4

．

③当0＜a＜b＜1时，f（x）在[a，b]上为减函数，∴

1 a -1=mb 1 b -1=ma

，两式作差得a=b，无意义．

综上，非零实数m的取值范围为(0，

1

4

)．