（Ⅰ）依题意，令f′(x)=g′(x)，得2x+b=1，故x=

1-b

2

．由于f(

1-b

2

)=g(

1-b

2

)，得(b+1)2=4c．

∵b＞-1，c＞0，

∴b=-1+2

c

．

（Ⅱ）由题意可得：F（x）=f（x）g（x）=x³+2bx²+（b²+c）x+bc，所以F′（x）=3x²+4bx+b²+c．

（ⅰ）当c=4时，则b=3，

所以F（x）=f（x）g（x）=x³+6x²+13x+12，所以F′（x）=3x²+12x+13，

若存在满足条件的点M，则有：F′（x）=3x²+12x+13=1，

解得：x=-2，y=2，

所以这样的点M存在，且坐标为（-2，2）．

（ⅱ）由题意可得：F（x）=f（x）g（x）=x³+2bx²+（b²+c）x+bc，所以F′（x）=3x²+4bx+b²+c．

令F′（x）=0，即3x²+4bx+b²+c=0；所以△=16b²-12（b²+c）=4（b²-3c），

若△=0，则F′（x）=0有两个相等的实根，设为x₀，此时F′（x）的变化如下：

x	（-∞，x0）	x0	（x0，+∞）
F′（x）	+	0	+

于是x=x₀不是函数F（x）的极值点．

若△＞0，则F′（x）=0有两个不相等的实根x₁，x₂（x₁＜x₂）且F′（x）的变化如下：

x	（-∞，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
F′（x）	+	0	-	0	+

由此，x=x₁是函数F（x）的极大值点，x=x₂是函数F（x）的极小值点．

综上所述，当且仅当△＞0时，函数F（x）在（-∞，+∞）上有极值点.

由△=4(b2-3c)＞0得b＜- 3c 或b＞ 3c

．∵b=-1+2

c

，

∴-1+2

c

＜

3c

或-1+2

c

＞

3c

.