问题
解答题
设函数f(x)=
（1）求函数f（x）的极大值与极小值； （2）若对函数的x0∈[0，a]，总存在相应的x1，x2∈[0，a]，使得g（x1）≤f（x0）≤g（x2）成立，求实数a的取值范围． |
答案
（1）定义域为R f′(x)=
=3(x2+1)-(3x+4)•2x (x2+1)2 -(3x-1)(x+3) (x2+1)2
| x | （-∞，-3） | -3 | (-3，
|
| (
| ||||||
| f'（x） | - | 0 | + | 0 | - | ||||||
| f（x） | ↘ | 极小值 | ↗ | 极大值 | ↘ |
| 1 |
| 3 |
∴f（x）：极大值为f(
)=1 3 9 2
极小值为f(-3)=-1 2
（2）依题意，只需在区间[0，a]上有[f（x）]max≤[g（x）]max且[f（x）]min≥[g（x）]min
∴f（x）在[0，
]↑，[1 3
，a]↓⇒[f(x)]max=f(1 3
)=1 3
，f(x)取小值f（0）或f（a）9 2
又f(0)=4，f(a)=
，f(a)-f(0)=3k+4 a2+1 a(3-4a) a2+1
∴当
＜a＜1 3
时，[f（x）]min=f（0）=4，当a≥3 4
时，[f(x)]min=f(a)=3 4 3a+4 a2+1
又g（x）在[0，a]↓⇒[g（x）]max=g（0）=6a，[g（x）]min=g（a）=3a
∴当
＜a＜1 3
时，3 4
≤6a；当a≥9 2
时，4 3
≥3a3a+4 a2+1
∴
≤a≤3 4 3 4 3