（I）由题意得A（a，0），B（

a2

c

，0，又

OA

=2

OB

⇒

a2

c

=

a

2

…①

由

x= a2 c y= b a x

⇒C(

a2

c

，

ab

c

). ∴

OA

•

OC

=2⇒

a2

c

=2…②

联立①、②，得a=2，c=4

∴双曲线的方程为

x2

4

-

y2

12

=1．

（II）由（I），得点B（1，0），F（4，0），设直线l的方程为x=ty+4

由

x2 4 - y2 12 =1 x=ty+4

⇒（3t²-1）y²+24ty+36=0

∴

BP

=(x1-1，-y1)， 

BN

=(x2-1 ，y2)

∵（x₁-1）y₂-（x₂-1）（-y₁）=x₁y₂+x₂y₁-（y₁+y₂）=（ty₁+4）y₂+（ty₂+4）y₁=（ty₁+4）y₂+（ty₂+4）y₂

-(y1+y2)=2ty1y2+3(y1+y2)=2t•

36

3t2-1

+3•

-24t

3t2-1

=0

∴向量

BP

与

BN

共线，∴B、P、N三点共线．

（III）∵直线l与双曲线右支相交于M、N两点

∴x₁x₂=（ty₂+4）（ty₂+4）=t²y₁y₂+4t（y₁+y₂）+16

=t2•

36

3t2-1

+4t•

-24t

3t2-1

+16＞0⇒

3t2+4

3t2-1

＜0⇒t2＜

1

3

∴S△BMN=

1

2

|BF|• |y1-y2|=

3

2

(24t)2-4•36•(3t2-1)

|3t2-1|

=

18 1+t2

|3t2-1|

=

18 1+t2

1-3t2

=

6 3 3+3t2

1-3t2

令u=1-3t²，u∈（0，1]

∴S△BMN=6

3

•

4-u

u

=6

3

•

4 u2 - 1 u

=6

3

•

4( 1 u - 1 8 )2 - 1 16

由u∈（0，1]⇒

1

u

∈[1，+∞)

∴当

1

u

=1，即t=0时，△BMN面积最小值为18．