在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，-3）为△OAB的直角顶点．已

问题解答题

在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，-3）为△OAB的直角顶点．已知|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于零．
（1）求向量

的坐标；
（2）求圆x²-6x+y²+2y=0关于直线OB对称的圆的方程；
（3）是否存在实数a，使抛物线y=ax²-1上总有关于直线OB对称的两个点？若不存在，说明理由：若存在，求a的取值范围．

答案

（1）设

={u，v}，

则由|

|=2|

|，

•

即

u2+v2=100

4u-3v=0

得

u=6

v=8

，或

u=-6

v=-8

．

∵

={u+4，v-3}，

∴v-3＞0，

得v=8，

∴

={6，8}；

（2）由

={10，5}，得B（10，5），

于是直线OB方程：y=

x．

由条件可知圆的标准方程为：（x-3）²+y（y+1）²=10，

得圆心（3，-1），半径为

．

设圆心（3，-1）关于直线OB的对称点为（x，y）

则

x+3

-2•

y-1

y+1

x-3

=-2

，

得

x=1

y=3

，

∴所求圆的方程为（x-1）²+（y-3）²=10；

（3）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）为抛物线上关于直线OB对称两点，

则

x1+x2

-2

y1+y2

y1-y2

x1-x2

=-2

，

得

x1+x2=-

x1x2=

5-2a

2a2

即x₁，x₂为方程x2+

5-2a

2a2

=0的两个相异实根，

于是由△=

-4•

5-2a

2a2

＞0，

得a＞

．

∴当a＞

时，抛物线y=ax²-1上总有关于直线OB对称的两点．