（I）A，B，C三点共线，设

AB

=m

BC

，

则

AB

=

OB

-

OA

=m

BC

=m(

OC

-

OB

)，（2分）

化简得：

OA

=(m+1)

OB

-m

OC

，所以λ=m+1，μ=-m，

所以λ+μ=1．（4分）

（II）由题设得

a_n+b_n=（λ+μ）（a_n-1+b_n-1）+2=a_n-1+b_n-1+2，（n≥2）（6分）

即c_n=c_n-1+2（n≥2），∴{c_n}是首项为a₁+b₁=3，

公差为2的等差数列，通项公式为c_n=2n+1（18分）

（III）由题设得

an-bn=(λ-μ)(an-1-bn-1)=

1

2

(an-1-bn-1)，(n≥2)，（10分）

令d_n=a_n-b_n，则dn=

1

2

dn-1(n≥2)．

所以{d_n}是首项为a₁-b₁=1，公比为

1

2

的等比数列，

通项公式为dn=

1

2n-1

．（12分）

由

an+bn=2n+1 an-bn= 1 2n-1

解得an=

1

2n

+n+

1

2

．（14分）