问题
解答题
已知函数f(x)=ln(x+1)+ax.
(1)当x=0时,函数f(x)取得极大值,求实数a的值;
(2)若存在x∈[1,2],使不等式f′(x)≥2x成立,其中f′(x)为f(x)的导函数,求实数a的取值范围;
(3)求函数f(x)的单调区间.
答案
(1)f′(x)=
+a1 x+1
由f′(0)=0,得a=-1,此时f′(x)=
-1.1 x+1
当x∈(-1,0)时,f′(x)>0,函数f(x)在区间(-1,0)上单调递增;
当x∈(0,+∞)时,f′(x)<0,函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减;
∴函数f(x)在x=0处取得极大值,故a=-1.
(2)∵f′(x)≥2x,∴
+a≥2x,∴a≥2x-1 x+1
.1 x+1
令g(x)=2x-
(1≤x≤2),1 x+1
∴g′(x)=2+
>0,∴g(x)在[1,2]上是增函数,1 (x+1)2
∴a≥g(1)=
.存在x∈[1,2],使不等式f′(x)≥2x成立.3 2
(3)f′(x)=
+a.1 x+1
∵
>0,1 x+1
∴当a≥0时,f′(x)>0,函数f(x)在(-1,+∞)上是增函数.
当a<0时,令f′(x)=0,x=-
-1;1 a
若x∈(-1,-
-1)时,f′(x)>0,1 a
若x∈(-
-1,+∞)时,f′(x)<0;1 a
综上,当a≥0时,函数f(x)递增区间是(-1,+∞);
当a<0时,函数f(x)递增区间是:(-1,-
-1),递减区间是:(-1 a
-1,+∞).1 a