问题 解答题

已知函数f(x)=ln(x+1)+ax.

(1)当x=0时,函数f(x)取得极大值,求实数a的值;

(2)若存在x∈[1,2],使不等式f′(x)≥2x成立,其中f′(x)为f(x)的导函数,求实数a的取值范围;

(3)求函数f(x)的单调区间.

答案

(1)f′(x)=

1
x+1
+a

由f′(0)=0,得a=-1,此时f′(x)=

1
x+1
-1.

当x∈(-1,0)时,f′(x)>0,函数f(x)在区间(-1,0)上单调递增;

当x∈(0,+∞)时,f′(x)<0,函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递减;

∴函数f(x)在x=0处取得极大值,故a=-1.

(2)∵f′(x)≥2x,∴

1
x+1
+a≥2x,∴a≥2x-
1
x+1

令g(x)=2x-

1
x+1
(1≤x≤2),

∴g′(x)=2+

1
(x+1)2
>0,∴g(x)在[1,2]上是增函数,

∴a≥g(1)=

3
2
.存在x∈[1,2],使不等式f′(x)≥2x成立.

(3)f′(x)=

1
x+1
+a.

1
x+1
>0,

∴当a≥0时,f′(x)>0,函数f(x)在(-1,+∞)上是增函数.

当a<0时,令f′(x)=0,x=-

1
a
-1;

若x∈(-1,-

1
a
-1)时,f′(x)>0,

若x∈(-

1
a
-1,+∞)时,f′(x)<0;

综上,当a≥0时,函数f(x)递增区间是(-1,+∞);

当a<0时,函数f(x)递增区间是:(-1,-

1
a
-1),递减区间是:(-
1
a
-1,+∞).

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