（1）f′（x）=

1

x+1

+a

由f′（0）=0，得a=-1，此时f′（x）=

1

x+1

-1．

当x∈（-1，0）时，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（-1，0）上单调递增；

当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减；

∴函数f（x）在x=0处取得极大值，故a=-1．

（2）∵f′（x）≥2x，∴

1

x+1

+a≥2x，∴a≥2x-

1

x+1

．

令g（x）=2x-

1

x+1

（1≤x≤2），

∴g′（x）=2+

1

(x+1)2

＞0，∴g（x）在[1，2]上是增函数，

∴a≥g（1）=

3

2

．存在x∈[1，2]，使不等式f′（x）≥2x成立．

（3）f′（x）=

1

x+1

+a．

∵

1

x+1

＞0，

∴当a≥0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（-1，+∞）上是增函数．

当a＜0时，令f′（x）=0，x=-

1

a

-1；

若x∈（-1，-

1

a

-1）时，f′（x）＞0，

若x∈（-

1

a

-1，+∞）时，f′（x）＜0；

综上，当a≥0时，函数f（x）递增区间是（-1，+∞）；

当a＜0时，函数f（x）递增区间是：（-1，-

1

a

-1），递减区间是：（-

1

a

-1，+∞）．