问题
解答题
设复数z=cosθ+isinθ（0＜θ＜π），ω=
|
答案
解法一ω=
=1-[cos(-θ)+isin(-θ)]4 1+[cosθ+isinθ]4
=1-cos(-4θ)-isin(-4θ) 1+cos4θ+isin4θ
=tg2θ（sin4θ+icos4θ）．|ω|=|tg2θ|•|sin4θ+icos4θ|=|tg2θ|=2sin22θ+2isin2θcos2θ 2cos22θ+2isin2θcos2θ
，tg2θ=±3 3
．3 3
因0＜θ＜π，故有
（ⅰ）当tg2θ=
时，得θ=3 3
或θ=π 12
，这时都有ω=7π 12
(cos3 3
+isinπ 6
)，π 6
得argω=
＜π 6
，适合题意．π 2
（ⅱ）当tg2θ=-
时，得θ=3 3
或θ=5π 12
，这时都有ω=11π 12
(cos3 3
+isin11π 6
)，11π 6
得argω=
＞11π 6
，不适合题意，舍去．π 2
综合（ⅰ）、（ⅱ）知θ=
或θ=π 12
．7π 12
解法二z4=cos4θ+isin4θ．
记φ=4θ，得(
)4=. z
=cosϕ-isinϕ．ω=. (z4)
．=1-cosϕ+isinϕ 1+cosϕ+isinϕ
(sinϕ+icosϕ)=tgsinϕ 1+cosϕ
(sinϕ+icosϕ)．∵|ω|=ϕ 2
，argω＜3 3
，π 2
①②③
∴|tg
|=ϕ 2 3 3 tg
•sinϕ＞0ϕ 2 tg
•cosϕ≥0ϕ 2
当①成立时，②恒成立，所以θ应满足
（ⅰ）
，或（ⅱ）0＜θ＜π tg2θ=
cos4θ≥03 3
，0＜θ＜π tg2θ=-
cos4θ≤03 3
解（ⅰ）得θ=
或θ=π 12
．（ⅱ）无解．7π 12
综合（ⅰ）、（ⅱ）θ=
或θ=π 12
．7π 12