问题
解答题
设复数z=cosθ+isinθ(0<θ<π),ω=
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答案
解法一ω=
=1-[cos(-θ)+isin(-θ)]4 1+[cosθ+isinθ]4
=1-cos(-4θ)-isin(-4θ) 1+cos4θ+isin4θ
=tg2θ(sin4θ+icos4θ).|ω|=|tg2θ|•|sin4θ+icos4θ|=|tg2θ|=2sin22θ+2isin2θcos2θ 2cos22θ+2isin2θcos2θ
,tg2θ=±3 3
.3 3
因0<θ<π,故有
(ⅰ)当tg2θ=
时,得θ=3 3
或θ=π 12
,这时都有ω=7π 12
(cos3 3
+isinπ 6
),π 6
得argω=
<π 6
,适合题意.π 2
(ⅱ)当tg2θ=-
时,得θ=3 3
或θ=5π 12
,这时都有ω=11π 12
(cos3 3
+isin11π 6
),11π 6
得argω=
>11π 6
,不适合题意,舍去.π 2
综合(ⅰ)、(ⅱ)知θ=
或θ=π 12
.7π 12
解法二z4=cos4θ+isin4θ.
记φ=4θ,得(
)4=. z
=cosϕ-isinϕ.ω=. (z4)
.=1-cosϕ+isinϕ 1+cosϕ+isinϕ
(sinϕ+icosϕ)=tgsinϕ 1+cosϕ
(sinϕ+icosϕ).∵|ω|=ϕ 2
,argω<3 3
,π 2
①②③
∴|tg
|=ϕ 2 3 3 tg
•sinϕ>0ϕ 2 tg
•cosϕ≥0ϕ 2
当①成立时,②恒成立,所以θ应满足
(ⅰ)
,或(ⅱ)0<θ<π tg2θ=
cos4θ≥03 3
,0<θ<π tg2θ=-
cos4θ≤03 3
解(ⅰ)得θ=
或θ=π 12
.(ⅱ)无解.7π 12
综合(ⅰ)、(ⅱ)θ=
或θ=π 12
.7π 12