设函数f（x）=x（x-1）2．
（1）求f（x）的极小值；
（2）讨论函数F（x）=f（x）+2x2-x-2axlnx零点的个数，并说明理由？
（3）设函数g（x）=ex-2x2+4x+t（t为常数），若使3-f（x）≤x+m≤g（x）在[0，+∞）上恒成立的实数m有且只有一个，求实数t的值．（e7＞103）
（1）∵f（x）=x（x-1）2=x3-2x2+x，
∴f′（x）=3x2-4x+1，
令f′（x）=3x2-4x+1=0，得x1=
，x2=1，1 3
列表讨论
| x | （-∞，
|
| （
| 1 | （1，+∞） | ||||||
| f′（x） | + | 0 | - | 0 | + | ||||||
| f（x） | ↑ | 极大值 | ↓ | 极小值 | ↑ |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
∴当x=1时，f（x）取极小值f（1）=0．…3分
（2）∵f（x）=x（x-1）2=x3-2x2+x，
∴F（x）=f（x）+2x2-x-2axlnx=x3-2axlnx，
∵x＞0，∴由F（x）=x3-2axlnx=0，得x2=2alnx，
∴当0≤a＜e时，函数零点的个数为0；
当a＜0或a=e时，函数零点的个数为1；
当a＞e时，函数零点的个数为2．
（3）∵g（x）=ex-2x2+4x+t，
∴由3-f（x）≤x+m≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，得
3-x3+2x2-x≤x+m≤ex-2x2+4x+t在[0，+∞）上恒成立，
∴h1（x）=x+m-（3-x3+2x2-x）=x3-2x2+2x+m-3≥0在[0，+∞）上恒成立，
∵h1′（x）=3x2-4x+2=3（x-
）2+2 3
≥2 3
，2 3
∴h1（x）在[0，+∞）上是增函数，
∴h1（x）在[0，+∞）上的最小值h1（x）min=h1（0）=m-3≥0．
∴m≥3，
∵实数m有且只有一个，
∴m=3
h2（x）=ex-2x2+4x+t-x-m=ex-2x2+3x+t-3≥0在[0，+∞）上恒成立，
∴h2（x）=ex-2x2+3x+t≥3在[0，+∞）上恒成立，
当x=0时，h2（0）=1+t≥3，
∴t≥2．