问题
解答题
已知函数f(x)=
（Ⅰ）若x=1时，f（x）取得极值，求a的值； （Ⅱ）求f（x）在[0，1]上的最小值； （Ⅲ）若对任意m∈R，直线y=-x+m都不是曲线y=f（x）的切线，求a的取值范围． |
答案
（I）∵f'（x）=x2-a，
当x=1时，f（x）取得极值，∴f'（1）=1-a=0，a=1．
又当x∈（-1，1）时，f'（x）＜0，x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，
∴f（x）在x=1处取得极小值，即a=1符合题意
（II） 当a≤0时，f'（x）＞0对x∈（0，1]成立，
∴f（x）在（0，1]上单调递增，f（x）在x=0处取最小值f（0）=1．
当a＞0时，令f'（x）=x2-a=0，x1=-
，x2=a
，a
当0＜a＜1时，
＜1，当x∈(0，a
)时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，x∈(a
，1)时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．a
所以f（x）在x=
处取得最小值f(a
)=1-a
．2a a 3
当a≥1时，
≥1，x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减a
所以f（x）在x=1处取得最小值f(1)=
-a．4 3
综上所述：
当a≤0时，f（x）在x=0处取最小值f（0）=1．
当0＜a＜1时，f（x）在x=
处取得最小值f(a
)=1-a
．2a a 3
当a≥1时，f（x）在x=1处取得最小值f(1)=
-a．4 3
（III）因为∀m∈R，直线y=-x+m都不是曲线y=f（x）的切线，
所以f'（x）=x2-a≠-1对x∈R成立，
只要f'（x）=x2-a的最小值大于-1即可，
而f'（x）=x2-a的最小值为f（0）=-a
所以-a＞-1，即a＜1．