已知函数f（x）=mx3+nx2（m，n∈R，m＞n且m≠0）的图象在（2，f（

问题解答题

已知函数f（x）=mx³+nx²（m，n∈R，m＞n且m≠0）的图象在（2，f（2））处的切线与x轴平行．

（1）求m与n的关系式及f（x）的极大值；

（2）若函数y=f（x）在区间[n，m]上有最大值为m-n²，试求m的值．

答案

（1）∵f′（x）=3mx²+2nx

由图象在（2，f（2））处的切线与x轴平行，知f′（2）=0

∴n=-3m，m＞0 ①

令f′（x）=3mx²+2nx=3mx²-6mx=0

得x=0或x=2，

∴f（x）在（-∞，0）上是增函数，在（0，2）上是减函数，在（2，+∞）上是增函数

∴x=0是f（x）的极大值点，x=2是极小值点．

∴极大值为f（0）=0；

（2）令f（x）=f（0）=0，得x=0或x=3

（I）当0＜m≤3时，f（x）_max=f（0）=0，∴m-n²=0 ②

由①，②解得m=

，符合前提0＜m≤3．

（II）当m＞3时，f（x）_max=f（m）=m⁴+m²n

∴m⁴+m²n=m-n² ③

由①，③得m³-3m²+9m-1=0，

∵m＞3时，m³-3m²+9m-1=m²（m-3）+9m-1＞0

∴m³-3m²+9m-1=0在（3，+∞）上无实数根．

综上讨论可知，m的值为m=