问题
解答题
| 已知函数f（x）=aex和g（x）=lnx-lna的图象与坐标轴的交点分别是点A，B，且以点A，B为切点的切线互相平行． （Ⅰ）求实数a的值； （Ⅱ）若函数F(x)=g(x)+
（Ⅲ）对于函数y=f（x）和y=g（x）公共定义域中的任意实数x0，我们把|f（x0）-g（x0）|的值称为两函数在x0处的偏差，求证：函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2． |
答案
（Ⅰ）f′(x)=aex，g′(x)=
，1 x
函数y=f（x）的图象与坐标轴的交点为（0，a），
函数y=g（x）的图象与坐标轴的交点为（a，0），
由题意得f′(0)=g′(a)，即a=
，1 a
又∵a＞0，∴a=1 （4分）
（Ⅱ）∵F(x)=g(x)+
，∴F′(x)=1 x
-1 x
=1 x2
，x-1 x2
∴函数F（x）的递减区间是（0，1），递增区间是（1，+∞），
所以函数F（x）极小值是F（1）=1，函数F（x）无极大值（8分）
（Ⅲ）函数y=f（x）和y=g（x）的偏差为F（x）=|f（x）-g（x）|=ex-lnx，x∈（0，+∞），∴F′(x)=ex-1 x
设x=t为F′(x)=ex-
=0的解，即1 x
=et1 t
则当x∈（0，t）时，F'（x）＜0，当x∈（t，+∞）时，F'（x）＞0，
∴F（x）在（0，t）内单调递减，在（t，+∞）上单调递增，∴F(x)min=F(t)=et-lnt=et-ln
=1 et
+t（10分）1 t
∵F′(1)=e-1＞0，F′(
)=1 2
-2＜0，∴e
＜t＜1，1 2
故F(x)min=
+t＞2，1 t
即函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2（14分）
则=（）。