问题
解答题
已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1的导数f′（x）满足f′（1）=2a，f′（2）=-b，其中常数a，b∈R，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
答案
（I）因为f（x）=x3+ax2+bx+1，所以f'（x）=3x2+2ax+b．…..（2分）
令x=1得f'（1）=3+2a+b．
由已知f'（1）=2a，所以3+2a+b=2a．解得b=-3．…．（4分）
又令x=2得f'（2）=12+4a+b．
由已知f'（2）=-b，所以12+4a+b=-b，解得a=-
．…..（6分）3 2
所以f(x)=x3-
x2-3x+1，f(1)=-3 2
．…..（8分）5 2
又因为f′(1)=2×(-
)=-3，…．（10分）3 2
故曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-(-
)=-3(x-1)，即6x+2y-1=0．…..（12分）5 2