问题 填空题

等边三角形内部一点到三个顶点的距离分别是3、4、5,则这个等边三角形的边长的平方是______.

答案

设PB=3,PA=4,PC=5,

将△PBC绕B点逆时针旋转60°至△BDA(如图),

∴DB=PB=3,AD=CP=5,△DBP是等边三角形,

∴∠DPB=60°,

在△ADP中,AP2+DP2=42+32=25=AD2

∴∠APD=90°,

所以∠APB=150°;

作BE⊥AP于E(如图),

则∠BPE=30°,

∴BE=

1
2
BP=
3
2

∴PE=

3
2
3

∴AE=4+

3
2
3

AB2=BE2+AE2=(

3
2
)2+(4+
3
2
3
)2=25+12
3

故答案为25+12

3

单项选择题
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