问题
填空题
等边三角形内部一点到三个顶点的距离分别是3、4、5，则这个等边三角形的边长的平方是______．
答案
设PB=3，PA=4，PC=5，
将△PBC绕B点逆时针旋转60°至△BDA（如图），
∴DB=PB=3，AD=CP=5，△DBP是等边三角形，
∴∠DPB=60°，
在△ADP中，AP2+DP2=42+32=25=AD2，
∴∠APD=90°，
所以∠APB=150°；
作BE⊥AP于E（如图），
则∠BPE=30°，
∴BE=
BP=1 2
，3 2
∴PE=3 2
，3
∴AE=4+3 2 3
∴AB2=BE2+AE2=(
)2+(4+3 2 3 2
)2=25+123
．3
故答案为25+12
．3