问题
解答题
已知函数f（x）=x3-ax2+bx+c（a，b，c∈R）．
（1）若函数f（x）在x=1或x=3处取得极值，试求a，b的值；
（2）在（1）的条件下，当x∈[-2，5]时，f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．
答案
（1）∵函数f（x）在x=1或x=3处取得极值
∴f'（1）=0，f'（3）=0…（1分）
又∵f'（x）=3x2-2ax+b
∴
…（2分）f′(1)=3-2a+b=0 f′(3)=27-6a+b=0
∴a=6，b=9…（3分）
经检验，当a=6，b=9时，函数f（x）在x=1或x=3处取得极值 …（4分）
∴a=6，b=9…（5分）
（2）由（1）得所求的函数解析式为f（x）=x3-6x2+9x+c；
∵当x∈[-2，5]时，f（x）＜c2恒成立，
∴x3-6x2+9x+c＜c2，对x∈[-2，5]恒成立，
∴c2-c＞x3-6x2+9x，∴c2-c＞（x3-6x2+9x）max
设g（x）=x3-6x2+9x，
g′（x）=3x2-12x+9=3（x-3）（x-1），
列表：
| x | （-2，1） | 1 | （1，3） | 3 | （3，5） |
| g′（x） | + | 0 | - | 0 | + |
| g（x） | ↑ | 极大值4 | ↓ | 极小值0 | ↑ |
故函数g（x）的g（x）最大值=f（5）=20，
∴c2-c＞20，解得c＜-4或c＞5．
故c的取值范围是：c＜-4或c＞5．…（13分）