问题 解答题

已知函数f(x)=x3-ax2+bx+c的图象为曲线C.

(1)若曲线C上存在点P,使曲线C在P点处的切线与x轴平行,求a,b的关系;

(2)若函数f(x)可以在x=-1和x=3时取得极值,求此时a,b的值;

(3)在满足(2)的条件下,f(x)<2c在x∈[-2,6]恒成立,求c的取值范围.

答案

(1)f'(x)=3x2-2ax+b,设切点为P(x0,y0),

则曲线y=f(x)在点P的切线的斜率k=f'(x0)=3x02-2ax0+b

由题意知f'(x0)=3x02-2ax0+b=0有解,

∴△=4a2-12b≥0,即a2≥3b.

(2)若函数f(x)可以在x=-1和x=3处取得极值,

则f'(x)=3x2-2ax+b有两个解x=-1和x=3,且满足a2≥3b,

利用韦达定理得a=3,b=-9.

(3)由(2)得f(x)=x3-3x2-9x+c根据题意,c>x3-3x2-9x(x∈[-2,6])恒成立,

令函数g(x)=x3-3x2-9x(x∈[-2,6]),由g′(x)=3x2-6x-9,令g′(x)=0得出x=-1或3,

当x∈[-2,-1)时,g′(x)>0,g(x)在x∈[-2,-1)上单调递增,

当x∈(-1,3)时,g′(x)<0,g(x)在x∈(-1,3)上单调递减,

当x∈(3,6),g′(x)>0,g(x)在x∈(3,6)上单调递增,

因此,g(x)在x=-1时有极大值5,且g(6)=54,g(-2)=-2.

∴函数g(x)=x3-3x2-9x(x∈[-2,6])的最大值为54,所以c>54.

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