问题
解答题
已知实数a满足1＜a≤2，设函数f （x）=
（Ⅰ） 当a=2时，求f （x）的极小值； （Ⅱ） 若函数g（x）=4x3+3bx2-6（b+2）x （b∈R） 的极小值点与f （x）的极小值点相同，求证：g（x）的极大值小于等于10． |
答案
（Ⅰ）当a=2时，f′（x）=x2-3x+2=（x-1）（x-2）．
列表如下：
| x | （-∞，1） | 1 | （1，2） | 2 | （2，+∞） |
| f′（x） | + | 0 | - | 0 | + |
| f（x） | 单调递增 | 极大值 | 单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
| 2 |
| 3 |
（Ⅱ）f′（x）=x2-（a+1）x+a=（x-1）（x-a）．
由于a＞1，
所以f（x）的极小值点x=a，则g（x）的极小值点也为x=a、
而g′（x）=12x2+6bx-6（b+2）=6（x-1）（2x+b+2），
所以a=-
，b+2 2
即b=-2（a+1）．
又因为1＜a≤2，
所以g（x）极大值=g（1）
=4+3b-6（b+2）
=-3b-8
=6a-2≤10．
故g（x）的极大值小于等于10．