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问题 解答题

已知函数f（x）=16x3-20ax2+8a2x-a3，其中a≠0．

（1）求函数f（x）的极大值和极小值；

（2）设（1）问中函数取得极大值的点为P（x，y），求点P的轨迹方程．

答案

（1）∵f（x）=16x3-20ax2+8a2x-a3，其中a≠0，

∴f'（x）=48x2-40ax+8a2=8（2x-a）（3x-a）

由f′（x）=0，得x=

a
2
，x=
a
3
，

当a＞0时，

a
3
＜
a
2
，见下表：

x(-∞，
a
3
)
a
3
(
a
3
，
a
2
)
a
2
(
a
2
，∞)
f'（x）+0-0+
f（x）增函数极大减函数极小增函数
∴当x=
a
3
时，函数取得极大值为f(
a
3
)=
a3
27
；

当x=

a
2
时，函数取得极小值为f(
a
2
)=0

当a＜0时，

a
2
＜
a
3
，见下表：

x(-∞，
a
2
)
a
2
(
a
2
，
a
3
)
a
3
(
a
3
，∞)
f'（x）+0-0+
f（x）增函数极大减函数极小增函数
∴当x=
a
2
时，函数取得极大值为f(
a
2
)=0；

当x=

a
3
时，函数取得极小值为f(
a
3
)=
a3
27
，

（2）由（1）可知：

当a＞0时，

x=
a
3
y=
a3
27
，消去a得：y=x3（x＞0），

当a＜0时，

x=
a
2
y=0
，消去a得：y=0（x＜0），

所以 P点的轨迹方程为：y=

x3，x＞0
0，x＜0
．

计算题

如图所示，用一轻弹簧竖直悬挂物体，现用力F=10.5N竖直向下拉物体，使物体处于静止状态，弹簧由原长5cm伸长到7.2cm。若将力F改为竖直向上拉物体，大小不变，物体仍处于静止状态，弹簧由原长缩短到3cm。求：物体的质量和弹簧的劲度系数。（g=10m/s2）

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选择题

意大利哲学家贝奈戴托.克罗齐在《历史学的理论与实际》中提出“一切历史都是当代史”的命题，解读这个命题的内涵说明                              （   ）

A．当代史意味着为期较近的过去的历史

B．当代史是自我认识在历史中的再现

C．当代人可以随意解释一切过去的历史

D．历史研究应当注重揭示历史规律性
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