（I）椭圆方程可写为：

y2

a2

+

x2

b2

=1式中a＞b＞0，且

a2-b2=3 3 a = 3 2

得a²=4，b²=1，

所以曲线C的方程为：x²+

y2

4

=1（x＞0，y＞0）．y=2

1-x2

（0＜x＜1）y'=-

2x

1-x2

设P（x₀，y₀），因P在C上，有0＜x₀＜1，y₀=2

1- x 20

，y'|_x=x0=-

4x0

y0

，得切线AB的方程为：

y=-

4x0

y0

（x-x₀）+y₀．

设A（x，0）和B（0，y），由切线方程得x=

1

x0

，y=

4

y0

．

由

OM

=

OA

+

OB

得M的坐标为（x，y），由x₀，y₀满足C的方程，得点M的轨迹方程为：

1

x2

+

4

y2

=1（x＞1，y＞2）

（Ⅱ）|

OM

|²=x²+y²，y²=

4

1- 1 x2

=4+

4

x2-1

，

∴|

OM

|²=x²-1+

4

x2-1

+5≥4+5=9．

且当x²-1=

4

x2-1

，即x=

3

＞1时，上式取等号．

故|

OM

|的最小值为3．