（1）因为f（1）=

1

2

×12-

1

2

=0，g（1）=aln1=0，所以（1，0）在函数f（x），g（x）的图象上

又f′(x)=x，g′(x)=

a

x

，所以f'（1）=1，g'（1）=a

所以a=1

（2）因为F（x）=f（x）-mg（x），所以，F(x)=

1

2

x2-

1

2

-mlnx，其定义域为{x|x＞0}F′(x)=x-

m

x

=

x2-m

x

当m＜0时，F′(x)=x-

m

x

=

x2-m

x

＞0，

所以F（x）在（0，+∞）上单调递增

所以F（x）在[1，e]上单调递增，其最小值为F（1）=

1

2

×12-

1

2

-m•ln1=0．

当m＞0时，令F′(x)=x-

m

x

=

x2-m

x

=0，得到x1=

m

＞0，x2=-

m

＜0（舍）

当

m

≤1时，即0＜m≤1时，F'（x）＞0对（1，e）恒成立，

所以F（x）在[1，e]上单调递增，其最小值为F（1）=0

当

m

≥e时，即m≥e²时，F'（x）＜0对（1，e）成立，

所以F（x）在[1，e]上单调递减，

其最小值为F(e)=

1

2

e2-

1

2

-m

当1＜

m

＜e，即1＜m＜e²时，F'（x）＜0对(1，

m

)成立，F'（x）＞0对(

m

，e)成立

所以F（x）在(1，

m

)单调递减，在(

m

，e)上单调递增

其最小值为F(

m

)=

1

2

m-

1

2

-mln

m

=

1

2

m-

1

2

-

m

2

lnm．

综上，当m≤1时，F（x）在[1，e]上的最小值为F（1）=0．

当1＜m＜e²时，F（x）在[1，e]上的最小值为F(

m

)=

1

2

m-

1

2

-

m

2

lnm．

当m≥e²时，F（x）在[1，e]上的最小值为F(e)=

1

2

e2-

1

2

-m．