问题 解答题

已知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值.

(1)求函数f(x)的解析式;

(2)求证:对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x1,x2都有|f(x1)-f(x2)|≤4.

答案

(1)∵f(x)=ax3+bx2-3x,

∴f'(x)=3ax2+2bx-3,

∵函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值,

∴f'(1)=f'(-1)=0…(3分)

即3a+2b-3=3a-2b-3=0,

解得a=1,b=0,

∴f(x)=x3-3x…(6分)

(2)证明:∵f(x)=x3-3x

∴f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)…(7分)

当-1<x<1时,f'(x)<0,

故f(x)在区间[-1,1]上为减函数 …(9分)

f(x)max=f(-1)=2,

f(x)min=f(1)=-2…(11分)

∴对于区间[-1,1]上任意两个自变量的值x1,x2

都有|f(x1)-f(x2)|

≤|f(x)max-f(x)min|

=2-(-2)=4…(12分)

单项选择题
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