（1）当a=0时，f(x)=

1

3

x3-x2+1，

∴f（3）=1，

∵f'（x）=x²-2x-----------------------------（2分）

∴曲线在点（3，1）处的切线的斜率k=f'（3）=3

∴所求的切线方程为y-1=3（x-3），即y=3x-8----------------（4分）

（2）∵f'（x）=x²-2（2a+1）x+3a（a+2）=（x-3a）（x-a-2）

∴x₁=3a，x₂=a+2-----------------------------------------------（6分）

①当x₁=x₂时，3a=a+2，解得a=1，这时x₁=x₂=3，函数y=f'（x）在（0，4）上有唯一的零点，故a=1为所求；（7分）

②当x₁＞x₂时，即3a＞a+2⇒a＞1，这时x₁＞x₂＞3，

又函数y=f'（x）在（0，4）上有唯一的零点，

∴

3＜x2＜4 x1≥4.

⇒

3＜a+2＜4 3a≥4.

⇒

4

3

≤a＜2，-----------------------（10分）

③当x₁＜x₂时，即a＜1，这时x₁＜x₂＜3

又函数y=f'（x）在（0，4）上有唯一的零点，

∴

x1≤0 0＜x2＜3.

⇒

3a≤0 0＜a+2＜3.

⇒-2＜a≤0------------------------（13分）

综上得当函数y=f'（x）在（0，4）上有唯一的零点时，-2＜a≤0或

4

3

≤a＜2或a=1．----------------（14分）