问题 选择题
已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,则称集合M是“好集合”.给出下列4个集合:
M={(x,y)|y=
1
x
}

②M={(x,y)|y=ex-2}
③M={(x,y)|y=cosx}
④M={(x,y)|y=lnx}
其中所有“好集合”的序号是(  )
A.①②④B.②③C.③④D.①③④
答案

对于①y=

1
x
是以x,y轴为渐近线的双曲线,渐近线的夹角为90°,

在同一支上,任意(x1,y1)∈M,不存在(x2,y2)∈M,满足好集合的定义;

对任意(x1,y1)∈M,在另一支上也不存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,

所以不满足好集合的定义,不是好集合.

对于②M={(x,y)|y=ex-2},如图(2)在曲线上两点构成的直角始存在,例如取M(0,-1),N(ln2,0),满足好集合的定义,所以正确.

对于③M={(x,y)|y=cosx},如图(3)对于任意(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使得x1x2+y1y2=0成立,

例如(0,1)、(

π
2
,0),∠yox=90°,满足好集合的定义,旋转90°,都能在图象上找到满足题意的点,

所以集合M是好集合;

对于④M={(x,y)|y=lnx},如图(4)取点(1,0),曲线上不存在另外的点,使得两点与原点的连线互相垂直,所以不是好集合.

故选B.

单项选择题
名词解释