分别以DA、DC、DD₁为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系

设正方体的棱长等于1，可得

D（0，0，0），B（1，1，0），C₁（0，1，1），A₁（1，0，1），

∴

BC1

=（-1，0，1），

A1D

=（-1，0，-1），

BD

=（-1，-1，0）

设

n

=（x，y，z）是平面A₁BD的一个法向量，

则

n • A1D =-x-z=0 n • BD =-x-y=0

，取x=1，得y=z=-1

∴平面A₁BD的一个法向量为

n

=（1，-1，-1）

设直线BC₁与平面A₁BD所成角为θ，则

sinθ=|cos＜

BC1

，

n

＞|=

BC1 • n

|BC1| • n

=

6

3

∴cosθ=

1-sin2θ

=

3

3

，即直线BC₁与平面A₁BD所成角的余弦值是

3

3

故答案为：

3

3